कक्षा 9 गणित अध्याय 2 बहुपद के लिए एनसीईआरटी | NCERT Solutions for Class 9 Maths | Hindi

एनसीईआरटी कक्षा 9 गणित अध्याय 2 - बहुपद के उत्तर प्राप्त करें

प्रश्नावली 2.1 

1. निम्नलिखित में से कौन से व्यंजक एक चर वाले बहुपद हैं और कौन से नहीं हैं? अपने उत्तर के कारण बताएं।

(i) 4x ² -3x+7

समाधान:

समीकरण 4x ^{2 -3x+7 को 4x 2} -3x ¹ +7x ⁰ . के रूप में लिखा जा सकता है

चूँकि दिए गए समीकरण में x ही एकमात्र चर है और x (अर्थात, 2, 1 और 0) की घातें पूर्ण संख्याएँ हैं, हम कह सकते हैं कि व्यंजक 4x ² -3x+7 एक चर में एक बहुपद है।

(ii) वाई ² + √2

समाधान:

समीकरण y ² + 2 को y ² ​​+ √ 2y ⁰ . के रूप में लिखा जा सकता है

चूँकि दिए गए समीकरण में y ही एकमात्र चर है और y (अर्थात, 2 और 0) की घातें पूर्ण संख्याएँ हैं, हम कह सकते हैं कि व्यंजक y 2 ⁺ 2 एक चर में एक बहुपद है।

(iii) 3√t+t√2

समाधान:

समीकरण 3√t+t√2 को 3t ^1/2 +√2t . के रूप में लिखा जा सकता है

हालाँकि, दिए गए समीकरण में t ही एकमात्र चर है, t (यानी, 1/2) की घातें एक पूर्ण संख्या नहीं हैं। इसलिए, हम कह सकते हैं कि व्यंजक 3√t+t√2 एक चर में बहुपद नहीं है।

(iv) y+2/y

समाधान:

समीकरण y+2/y a को y+2y ^{-1 . के रूप में लिखा जाएगा}

हालांकि, दिए गए समीकरण में y ही एकमात्र चर है, y (यानी, -1) की घात एक पूर्ण संख्या नहीं है। अतः, हम कह सकते हैं कि व्यंजक y+2/y एक चर वाला बहुपद नहीं है।

(वी) एक्स ¹⁰ + वाई ³ + टी ⁵⁰

समाधान:

यहाँ, समीकरण x ¹⁰ +y ³ +t ^{50 . में}

हालाँकि, घात, 10, 3, 50, पूर्ण संख्याएँ हैं, व्यंजक में 3 चर का उपयोग किया जाता है

एक्स ¹⁰ +y ³ +टी ⁵⁰ । अत: यह एक चर वाला बहुपद नहीं है।

2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में x ² के गुणांक लिखिए :

(i) 2+x ² +x

समाधान:

समीकरण 2+x ² +x को 2+(1)x ² +x . के रूप में लिखा जा सकता है

हम जानते हैं कि गुणांक वह संख्या है जो चर को गुणा करती है।

^{यहाँ, वह संख्या जो चर x 2} को गुणा करती है, 1 . है

, 2+x ^{2 +x में x 2} का गुणांक 1 है।

(ii) 2 - x ² + x ³

समाधान:

समीकरण 2-x ² +x ³ को 2+(-1)x ² +x ^{3 . के रूप में लिखा जा सकता है}

हम जानते हैं कि गुणांक वह संख्या है (इसके चिह्न के साथ, यानी, - या +) जो चर को गुणा करती है।

^{यहाँ, चर x 2} को गुणा करने वाली संख्या -1 . है

2-x ² +x ^{3 में x 2} का गुणांक -1 है।

(iii) ( π / 2) x ² + x

समाधान:

समीकरण (π/2)x ^{2 +x को (π/2)x 2} + x . के रूप में लिखा जा सकता है

हम जानते हैं कि गुणांक वह संख्या है (इसके चिह्न के साथ, यानी, - या +) जो चर को गुणा करती है।

^{यहाँ, चर x 2} को गुणा करने वाली संख्या π/2 है।

^{x 2} in (π/2)x ² +x का गुणांक π/2 है।

(iii)√2x-1

समाधान:

समीकरण √2x-1 को 0x ² +√2x-1 के रूप में लिखा जा सकता है [चूंकि 0x ² 0 है]

हम जानते हैं कि गुणांक वह संख्या है (इसके चिह्न के साथ, यानी, - या +) जो चर को गुणा करती है।

^{यहाँ, चर x 2} को गुणा करने वाली संख्या 0 . है

, √2x-1 में x ^{2 का गुणांक 0 है।}

3. घात 35 वाले द्विपद और 100 घात वाले एकपदी का एक-एक उदाहरण दीजिए।

समाधान:

घात 35 का द्विपद: दो पदों और उच्चतम घात 35 वाले बहुपद को घात 35 का द्विपद कहा जाता है

जैसे, 3x ³⁵ +5

घात 100 का एकपदी: एक पद और उच्चतम घात 100 वाले बहुपद को घात 100 का एकपदी कहते हैं

जैसे, 4x ¹⁰⁰

(i) 5x ³ +4x ² +7x

समाधान:

एक बहुपद में चर की उच्चतम घात बहुपद की घात होती है।

यहाँ, 5x ³ +4x ² +7x = 5x ³ +4x ² +7x ¹

चर x की घातें हैं: 3, 2, 1

5x ³ +4x ² +7x की डिग्री 3 है क्योंकि 3 समीकरण में x की उच्चतम शक्ति है।

(ii) 4 - वाई ²

समाधान:

एक बहुपद में चर की उच्चतम घात बहुपद की घात होती है।

यहाँ, 4-y ² में,

चर y की शक्ति 2 . है

4-y ² की डिग्री 2 है क्योंकि 2 समीकरण में y की उच्चतम शक्ति है।

(iii) 5t–√7

समाधान:

एक बहुपद में चर की उच्चतम घात बहुपद की घात होती है।

यहाँ, 5t –√7 में,

चर टी की शक्ति है: 1

5t -√7 की डिग्री 1 है क्योंकि 1 समीकरण में y की उच्चतम शक्ति है।

(iv) 3

समाधान:

एक बहुपद में चर की उच्चतम घात बहुपद की घात होती है।

यहाँ, 3 = 3×1 = 3× x ⁰

यहाँ चर की शक्ति है: 0

3 की डिग्री 0 है।

5. निम्नलिखित को रैखिक, द्विघात और घन बहुपद के रूप में वर्गीकृत कीजिए:

समाधान:

हम जानते हैं कि,

रैखिक बहुपद: घात एक वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहते हैं।

द्विघात बहुपद: घात दो वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहते हैं।

घन बहुपद: घात तीन वाले बहुपद को घन बहुपद कहते हैं।

(i) x ² +x

समाधान:

^{x 2} +x की उच्चतम घात 2 . है

डिग्री 2 . है

अत: x ² +x एक द्विघात बहुपद है

(ii) एक्स - एक्स ³

समाधान:

x–x ³ की उच्चतम घात 3 . है

डिग्री 3 . है

अत: x-x ³ एक घन बहुपद है

(iii) y+y ² +4

समाधान:

y+y ² +4 की उच्चतम घात 2 . है

डिग्री 2 . है

अत: y+y ² +4 एक द्विघात बहुपद है

(iv) 1+x

समाधान:

1+x की उच्चतम शक्ति 1 . है

डिग्री 1 . है

अत: 1+x एक रैखिक बहुपद है।

(वी) 3t

समाधान:

3t की उच्चतम शक्ति 1 . है

डिग्री 1 . है

अत: 3t एक रैखिक बहुपद है।

(vi) आर ²

समाधान:

^{r 2} की उच्चतम घात 2 . है

डिग्री 2 . है

अत: r ² एक द्विघात बहुपद है।

(vii) 7x ³

समाधान:

7x ³ की उच्चतम शक्ति 3 . है

डिग्री 3 . है

अत: 7x ³ एक घन बहुपद है।

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प्रश्नावली 2.2

1. बहुपद (x)=5x−4x ² +3  . का मान ज्ञात कीजिए

(i) एक्स = 0

(ii) एक्स = - 1

(iii) एक्स = 2

समाधान:

मान लीजिए f(x) = 5x−4x ² +3

(i) जब x = 0

f(0) = 5(0)-4(0) ² +3

= 3

(ii) जब x = -1

f(x) = 5x−4x ² +3

f(−1) = 5(−1)−4(−1) ² +3

= -5–4+3

= -6

(iii) जब x = 2

f(x) = 5x−4x ² +3

f(2) = 5(2)−4(2) ² +3

= 10-16+3

= -3

2. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक के लिए p(0), p(1) और p(2) ज्ञात कीजिए:

(i) p(y)=y ² −y+1

समाधान:

p(y) = y ² –y+1

∴p(0) = (0) ² -(0)+1=1

पी(1) = (1) ² -(1)+1=1

पी(2) = (2) ² –(2)+1=3

(ii) p(t)=2+t+2t ² −t ³

समाधान:

p(t) = 2+t+2t ² −t ³

p(0) = 2+0+2(0) ² –(0) ³ =2

p(1) = 2+1+2(1) ² –(1) ³ =2+1+2–1=4

p(2) = 2+2+2(2) ² –(2) ³ =2+2+8–8=4

(iii) p(x)=x ³

समाधान:

पी (एक्स) = एक्स ³

p(0) = (0) ³ = 0

पी(1) = (1) ³ = 1

पी(2) = (2) ³ = 8

(iv) पी (एक्स) = (एक्स 1) (एक्स + 1)

समाधान:

पी(एक्स) = (एक्स-1)(एक्स+1)

∴p(0) = (0–1)(0+1) = (−1)(1) = -1

p(1) = (1–1)(1+1) = 0(2) = 0

p(2) = (2–1)(2+1) = 1(3) = 3

3. सत्यापित करें कि क्या निम्नलिखित बहुपद के शून्यक हैं, जो उनके सामने दर्शाए गए हैं।

(i) p(x)=3x+1, x=−1/3

समाधान:

के लिए, x = -1/3, p(x) = 3x+1

∴p(−1/3) = 3(-1/3)+1 = -1+1 = 0

∴ -1/3 p(x) का शून्य है।

(ii) पी (एक्स) = 5x - , एक्स = 4/5

समाधान:

के लिए, x = 4/5, p(x) = 5x–π

पी (4/5) = 5 (4/5) - = 4-π

∴ 4/5, p(x) का शून्य नहीं है।

(iii) p(x)=x ² −1, x=1, −1

समाधान:

के लिए, x = 1, −1;

पी(एक्स) = एक्स ² −1

∴p(1)=1 ² −1=1−1 = 0

p(−1)=(-1) ² −1 = 1−1 = 0

∴1, −1 p(x) के शून्यक हैं।

(iv) p (x) = (x+1) (x – 2), x = −1, 2

समाधान:

के लिए, x = −1,2;

पी(एक्स) = (एक्स+1)(एक्स-2)

∴p(−1) = (−1+1)(−1–2)

= (0)(−3) = 0

p(2) = (2+1)(2–2) = (3)(0) = 0

∴−1,2 p(x) के शून्यक हैं।

(वी) पी (एक्स) = एक्स ² , एक्स = 0

समाधान:

के लिए, x = 0 p(x) = x ²

पी(0) = 0 ² = 0

0 p(x) का एक शून्यक है।

(vi) p (x) = lx +m, x = −m/ l

समाधान:

के लिए, x = -m/ l ; पी (एक्स) = एल एक्स + एम

∴ p(-m/ l) = l (-m/ l )+m = −m+m = 0

∴-m/ l p(x) का एक शून्यक है।

(vii) p(x) = 3x ² −1, x = -1/√3 , 2/√3

समाधान:

के लिए, x = -1/√3 , 2/√3 ; पी(एक्स) = 3x ² −1

p(-1/√3) = 3(-1/√3) ² -1 = 3(1/3)-1 = 1-1 = 0

∴p(2/√3) = 3(2/√3) ² -1 = 3(4/3)-1 = 4−1=3 ≠ 0

-1/√3 p(x) का शून्य है लेकिन 2/√3 p(x) का शून्य नहीं है।

(viii) p(x) =2x+1, x = 1/2

समाधान:

के लिए, x = 1/2 p(x) = 2x+1

∴ p(1/2)=2(1/2)+1 = 1+1 = 2≠0

1/2 p(x) का शून्यक नहीं है।

4. निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति में बहुपदों का शून्य ज्ञात कीजिए:

(i) p(x) = x+5 

समाधान:

पी(एक्स) = एक्स+5

⇒ एक्स+5 = 0

⇒ एक्स = −5

-5 बहुपद p(x) का एक शून्य बहुपद है।

(ii) पी (एक्स) = एक्स - 5

समाधान:

पी(एक्स) = एक्स−5

⇒ x−5 = 0

एक्स = 5

5 बहुपद p(x) का एक शून्य बहुपद है।

(iii) पी(एक्स) = 2x+5

समाधान:

पी(एक्स) = 2x+5

⇒ 2x + 5 = 0

⇒ 2x = -5

⇒ एक्स = -5/2

∴x = -5/2 बहुपद p(x) का एक शून्य बहुपद है।

(iv) पी (एक्स) = 3x - 2 

समाधान:

पी (एक्स) = 3x-2

⇒ 3x−2 = 0

⇒ 3x = 2

x = 2/3

∴x = 2/3 बहुपद p(x) का एक शून्य बहुपद है।

(वी) पी (एक्स) = 3x 

समाधान:

पी (एक्स) = 3x

3x = 0

एक्स = 0

0 बहुपद p(x) का एक शून्य बहुपद है।

(vi) पी (एक्स) = कुल्हाड़ी, ए 0

समाधान:

पी (एक्स) = कुल्हाड़ी

कुल्हाड़ी = 0

एक्स = 0

x = 0 बहुपद p(x) का एक शून्य बहुपद है।

(vii)p(x) = cx+d, c 0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।

समाधान:

पी (एक्स) = सीएक्स + डी

⇒ सीएक्स+डी =0

⇒ एक्स = -डी/सी

∴ x = -d/c बहुपद p(x) का एक शून्य बहुपद है।

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प्रश्नावली 2.3

1. शेषफल ज्ञात कीजिए जब x ³ +3x ² +3x+1 को . से विभाजित किया जाता है

(i) x+1

समाधान:

एक्स+1= 0

x = -1

शेष:

p(−1) = (−1) ³ +3(−1) ² +3(−1)+1

= -1+3−3+1

= 0

(ii) एक्स - 1/2

समाधान:

एक्स-1/2 = 0

एक्स = 1/2

शेष:

पी(1/2) = (1/2) ³ +3(1/2) ² +3(1/2)+1

= (1/8)+(3/4)+(3/2)+1

= 27/8

(iii) एक्स

समाधान:

एक्स = 0

शेष:

पी(0) = (0) ³ +3(0) ² +3(0)+1

= 1

(iv) एक्स+

समाधान:

एक्स + = 0

⇒ एक्स = −π

शेष:

p (0) = (−π) ³ +3 (−π) ² +3 (−π) +1

−π ³ + 3π ² −3π + 1

(v) 5 + 2x

समाधान:

5 + 2x = 0

⇒ 2x = -5

⇒ एक्स = -5/2

शेष:

(-5/2) ³ +3(-5/2) ² +3(-5/2)+1 = (-125/8)+(75/4)-(15/2)+1

= -27/8

2. शेषफल ज्ञात कीजिए जब x ³ −ax ² +6x−a को xa से विभाजित किया जाता है।

समाधान:

मान लीजिए p(x) = x ³ −ax ² +6x−a

एक्स−ए = 0

एक्स = ए

शेष:

p(a) = (a) ³ −a(a ² )+6(a)−a

= a ³ −a ³ +6a−a = 5a

3. जाँच कीजिए कि क्या 7+3x, 3x ³ +7x का गुणनखंड है।

समाधान:

7+3x = 0

⇒ 3x = −7

एक्स = -7/3

शेष:

3(-7/3) ³ +7(-7/3) = -(343/9)+(-49/3)

= (-343-(49)3)/9

= (-343-147)/9

= -490/9 0

∴7+3x, 3x ³ +7x . का गुणनखंड नहीं है

---

प्रश्नावली 2.4

1. निर्धारित करें कि निम्नलिखित में से किस बहुपद में (x + 1) एक गुणनखंड है:

(i) x ³ +x ² +x+1

समाधान:

मान लीजिए p(x) = x ³ +x ² +x+1

x+1 का शून्यक -1 है। [x+1 = 0 का अर्थ है x = -1]

p(−1) = (−1) ³ +(−1) ² +(−1)+1

= -1+1−1+1

= 0

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, x+1 x ³ +x ² +x+1 . का गुणनखंड है

(ii) एक्स ⁴ + एक्स ³ + एक्स ² + एक्स + 1

समाधान:

मान लीजिए p(x)= x ⁴ +x ³ +x ² +x+1

x+1 का शून्यक -1 है। . [x+1= 0 का अर्थ है x = -1]

p(−1) = (−1) ⁴ +(−1) ³ +(−1) ² +(−1)+1

= 1−1+1−1+1

= 1 0

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, x+1 x ⁴  + x ³  + x ²  + x + 1 का गुणनखंड नहीं है

(iii) x ⁴ +3x ³ +3x ² +x+1 

समाधान:

मान लीजिए p(x)= x ⁴ +3x ³ +3x ² +x+1

x+1 का शून्यक -1 है।

p(−1)=(−1) ⁴ +3(−1) ³ +3(−1) ² +(−1)+1

=1−3+3−1+1

=1 0

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, x+1 x ⁴ +3x ³ +3x ² +x+1 का गुणनखंड नहीं है

(iv) x ³ - x ² - (2+√2)x +√2

समाधान:

मान लीजिए p(x) = x ³ –x ² –(2+√2)x +√2

x+1 का शून्यक -1 है।

p(−1) = (-1) ³ –(-1) ² –(2+√2)(-1) + √2 = −1−1+2+√2+√2

= 2√2 0

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, x+1 x ³ –x ² –(2+√2)x +√2 का गुणनखंड नहीं है

2. निम्नलिखित में से प्रत्येक मामले में यह निर्धारित करने के लिए कि क्या g(x) p(x) का एक गुणनखंड है, कारक प्रमेय का उपयोग करें:

(i) p(x) = 2x ³ +x ² -2x-1, g(x) = x+1

समाधान:

p(x) = 2x ³ +x ² –2x-1, g(x) = x+1

जी (एक्स) = 0

⇒ एक्स+1 = 0

⇒ एक्स = -1

g(x) का शून्य -1 है।

अभी,

p(−1) = 2(−1) ³ +(−1) ² –2(−1)-1

= −2+1+2−1

= 0

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, g(x) p(x) का एक गुणनखंड है।

(ii) p(x)=x ³ +3x ² +3x+1, g(x) = x+2

समाधान:

p(x) = x ³ +3x ² +3x+1, g(x) = x+2

जी (एक्स) = 0

⇒ एक्स+2 = 0

⇒ एक्स = -2

g(x) का शून्य -2 है।

अभी,

p(−2) = (−2) ³ +3(−2) ² +3(−2)+1

= −8+12−6+1

= -1 ≠ 0

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, g(x) p(x) का गुणनखंड नहीं है।

(iii) p(x)=x ³ -4x ² +x+6, g(x) = x-3

समाधान:

p(x) = x ³ -4x ² +x+6, g(x) = x -3

जी (एक्स) = 0

⇒ x−3 = 0

एक्स = 3

g(x) का शून्य 3 होता है।

अभी,

पी(3) = (3) ³ −4(3) ² +(3)+6

= 27−36+3+6

= 0

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, g(x) p(x) का एक गुणनखंड है।

3. k का मान ज्ञात कीजिए, यदि x-1 निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति में p(x) का गुणनखंड है:

(i) p(x) = x ² +x+k

समाधान:

यदि x-1, p(x) का गुणनखंड है, तो p(1) = 0

कारक प्रमेय द्वारा

(1) ² +(1)+के = 0

⇒ 1+1+के = 0

⇒ 2+के = 0

के = -2

(ii) p(x) = 2x ² +kx+ √2

समाधान:

यदि x-1, p(x) का गुणनखंड है, तो p(1)=0

2(1) ² +k(1)+√2 = 0

⇒ 2+k+√2 = 0

⇒ के = -(2+√2)

(iii) p(x) = kx 2 ^- 2x +1

समाधान:

यदि x-1, p(x) का गुणनखंड है, तो p(1)=0

कारक प्रमेय द्वारा

⇒ के(1) ² -√2(1)+1=0

कश्मीर = √2-1

(iv) p(x)=kx ² -3x+k

समाधान:

यदि x-1, p(x) का गुणनखंड है, तो p(1) = 0

कारक प्रमेय द्वारा

के(1) ² -3(1)+k = 0

⇒ k−3+k = 0

⇒ 2k−3 = 0

कश्मीर = 3/2

4. कारक बनाना:

(i) 12x ² -7x+1

समाधान:

मध्यावधि विधि को विभाजित करने का उपयोग करते हुए,

हमें एक संख्या ज्ञात करनी है जिसका योग = -7 और गुणनफल =1×12 = 12

हम -3 और -4 को संख्याओं के रूप में प्राप्त करते हैं [-3+-4=-7 और -3×-4 = 12]

12x ² -7x+1= 12x ² -4x-3x+1

= 4x(3x-1)-1(3x-1)

= (4x-1)(3x-1)

(ii) 2x ² +7x+3

समाधान:

मध्यावधि विधि को विभाजित करने का उपयोग करते हुए,

हमें एक संख्या ज्ञात करनी है जिसका योग = 7 और गुणनफल = 2×3 = 6

हम 6 और 1 को संख्याओं के रूप में प्राप्त करते हैं [6+1 = 7 और 6×1 = 6]

2x ² +7x+3 = 2x ² +6x+1x+3

= 2x (x + 3) + 1 (x + 3)

= (2x + 1) (x + 3)

(iii) 6x ² +5x-6 

समाधान:

मध्यावधि विधि को विभाजित करने का उपयोग करते हुए,

हमें एक संख्या ज्ञात करनी है जिसका योग = 5 और गुणनफल = 6×-6 = -36

हम -4 और 9 को संख्याओं के रूप में प्राप्त करते हैं [-4+9 = 5 और -4×9 = -36]

6x ² +5x-6 = 6x ² +9x–4x–6

= 3x(2x+3)-2(2x+3)

= (2x+3)(3x-2)

(iv) 3x ² -x-4 

समाधान:

मध्यावधि विधि को विभाजित करने का उपयोग करते हुए,

हमें एक संख्या ज्ञात करनी है जिसका योग = -1 और गुणनफल = 3×-4 = -12

हम -4 और 3 को संख्याओं के रूप में प्राप्त करते हैं [-4+3 = -1 और -4×3 = -12]

3x ² –x–4 = 3x ² -4x+3x–4

= x(3x–4)+1(3x–4)

= (3x–4)(x+1)

5. कारक बनाना:

(i) x ³ –2x ² - x+2

समाधान:

मान लीजिए p(x) = x ³ –2x ² –x+2

2 के गुणनखंड ±1 और ± 2 . हैं

अभी,

p(x) = x ³ –2x ² –x+2

p(−1) = (−1) ³ –2(−1) ² –(−1)+2

= -1−2+1+2

= 0

इसलिए, (x+1) p(x) का गुणनखंड है

अब, लाभांश = भाजक × भागफल + शेष

(x+1)(x ² –3x+2) = (x+1)(x ² –x–2x+2)

= (x+1)(x(x−1)−2(x−1))

= (x+1)(x−1)(x-2)

(ii) x ³ -3x ² -9x-5

समाधान:

मान लीजिए p(x) = x ³ -3x ² -9x-5

5 के गुणनखंड ±1 और ±5 . हैं

परीक्षण विधि से, हम पाते हैं कि

पी(5) = 0

तो, (x-5) p(x) का गुणनखंड है

अभी,

p(x) = x ³ -3x ² -9x-5

p(5) = (5) ³ –3(5) ² -9(5)–5

= 125−75−45−5

= 0

इसलिए, (x-5) p(x) का गुणनखंड है

अब, लाभांश = भाजक × भागफल + शेष

(x−5)(x ² +2x+1) = (x−5)(x ² +x+x+1)

= (x−5)(x(x+1)+1(x+1))

= (x−5)(x+1)(x+1)

(iii) x ³ +13x ² +32x+20

समाधान:

मान लीजिए p(x) = x ³ +13x ² +32x+20

20 के गुणनखंड ±1, ±2, ±4, ±5, ±10 और ±20 . हैं

परीक्षण विधि से, हम पाते हैं कि

पी (-1) = 0

तो, (x+1) p(x) का गुणनखंड है

अभी,

पी (एक्स) = एक्स ³ +13x ² +32x+20

p(-1) = (−1) ³ +13(−1) ² +32(−1)+20

= -1+13−32+20

= 0

इसलिए, (x+1) p(x) का गुणनखंड है

अब, लाभांश = भाजक × भागफल + शेष

(x+1)(x ² +12x+20) = (x+1)(x ² +2x+10x+20)

= (x+1)x(x+2)+10(x+2)

= (x+1)(x+2)(x+10)

(iv) 2y ³ +y 2-2y- ¹

समाधान:

मान लीजिए p(y) = 2y ³ +y ² –2y-1

गुणनखंड = 2×(−1)= -2 ±1 और ±2 . हैं

परीक्षण विधि से, हम पाते हैं कि

पी(1) = 0

तो, (y-1) p(y) का गुणनखंड है

अभी,

p(y) = 2y ³ + y 2-2y- ¹

पी(1) = 2(1) ³ +(1) ^2-2 (1)-1

= 2+1−2

= 0

इसलिए, (y-1) p(y) का गुणनखंड है

अब, लाभांश = भाजक × भागफल + शेष

(y−1)(2y ² +3y+1) = (y−1)(2y ² +2y+y+1)

= (y−1)(2y(y+1)+1(y+1))

= (y−1)(2y+1)(y+1)

प्रश्नावली 2.5

1. निम्नलिखित उत्पादों को खोजने के लिए उपयुक्त पहचान का प्रयोग करें:

(i) (x+4)(x +10) 

समाधान:

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, (x+a)(x+b) = x ² +(a+b)x+ab

[यहाँ, a = 4 और b = 10]

हम पाते हैं,

(x+4)(x+10) = x ² +(4+10)x+(4×10)

= x ² +14x+40

(ii) (एक्स + 8) (एक्स -10)     

समाधान:

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, (x+a)(x+b) = x ² +(a+b)x+ab

[यहाँ, a = 8 और b = -10]

हम पाते हैं,

(x+8)(x−10) = x ² +(8+(−10))x+(8×(−10))

= x ² +(8−10)x–80

= x ² −2x−80

(iii) (3x+4)(3x-5)

समाधान:

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, (x+a)(x+b) = x ² +(a+b)x+ab

[यहाँ, x = 3x, a = 4 और b = -5]

हम पाते हैं,

(3x+4)(3x−5) = (3x) ² +[4+(−5)] 3x+4x(−5)

= 9x ² +3x(4–5)–20

= 9x 2–3x ^– 20

(iv) (y ² +3/2)(y ² -3/2)

समाधान:

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, (x+y)(x–y) = x ² –y ²

[यहाँ, x = y ² और y = 3/2]

हम पाते हैं,

(y ² +3/2)(y ² –3/2) = (y ² ) ² –(3/2) ²

= वाई ⁴ -9/4

2. सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित उत्पादों का मूल्यांकन करें:

(i) 103×107

समाधान:

103×107= (100+3)×(100+7)

पहचान का उपयोग करना, [(x+a)(x+b) = x ² +(a+b)x+ab

यहाँ, x = 100

ए = 3

बी = 7

हम पाते हैं, 103×107 = (100+3)×(100+7)

= (100) ² +(3+7)100+(3×7)

= 10000+1000+21

= 11021

(ii) 95×96  

समाधान:

95×96 = (100-5)×(100-4)

पहचान का उपयोग करना, [(xa)(xb) = x ² -(a+b)x+ab

यहाँ, x = 100

ए = -5

बी = -4

हम पाते हैं, 95×96 = (100-5)×(100-4)

= (100) ² +100 (-5+(-4))+(-5×-4)

= 10000-900+20

= 9120

(iii) 104×96

समाधान:

104×96 = (100+4)×(100-4)

सर्वसमिका का प्रयोग [(a+b)(ab)= a ² -b ² ]

यहाँ, a = 100

बी = 4

हम पाते हैं, 104×96 = (100+4)×(100–4)

= (100) ² –(4) ²

= 10000-16

= 9984

3. उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए:

(i) 9x ² +6xy+y ²

समाधान:

9x ² +6xy+y ² = (3x) ² +(2×3x×y)+y ²

सर्वसमिका का प्रयोग करते हुए x ² +2xy+y ² = (x+y) ²

यहाँ, x = 3x

और = और

9x ² +6xy+y ² = (3x) ² +(2×3x×y)+y ²

= (3x+y) ²

= (3x+y)(3x+y)

(ii) 4y ² −4y+1

समाधान:

4y ² −4y+1 = (2y) ² –(2×2y×1)+1

सर्वसमिका का प्रयोग करते हुए, x ² - 2xy + y ² = (x - y) ²

यहाँ, x = 2y

वाई = 1

4y ² −4y+1 = (2y) ² –(2×2y×1)+1 ²

= (2y-1) ²

= (2y-1)(2y-1)

(iii) x ² - y ² /100

समाधान:

x ² -y ² /100 = x ² -(y/10) ²

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, x ² -y ² = (xy)(x+y)

यहाँ, x = x

वाई = वाई/10

x ² -y ² /100 = x ² -(y/10) ²

= (x–y/10)(x+y/10)

4. उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित में से प्रत्येक का विस्तार कीजिए:

(i) (x+2y+4z) ²

(ii) (2x - y + z) ²

(iii) (−2x+3y+2z) ²

(iv) (3a-7b-c) ²

(v) (-2x+5y-3z) ²

(vi) ((1/4) ए- (1/2) बी +1) ²

समाधान:

(i) (x+2y+4z) ²

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, (x+y+z) ² = x ² +y ² +z ² +2xy+2yz+2zx

यहाँ, x = x

वाई = 2y

जेड = 4z

(x+2y+4z) ² = x ² +(2y) ² +(4z) ² +(2×x×2y)+(2×2y×4z)+(2×4z×x)

= x ² +4y ² +16z ² +4xy+16yz+8xz

(ii) (2x - y + z) ² 

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, (x+y+z) ² = x ² +y ² +z ² +2xy+2yz+2zx

यहाँ, x = 2x

वाई = -y

जेड = जेड

(2x−y+z) ² = (2x) ² +(−y) ² +z ² +(2×2x×−y)+(2×−y×z)+(2×z×2x)

= 4x ^​​2 +y ² +z ² -4xy-2yz+4xz

(iii) (−2x+3y+2z) ²

समाधान:

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, (x+y+z) ² = x ² +y ² +z ² +2xy+2yz+2zx

यहाँ, x = −2x

y=3y

जेड = 2z

(−2x+3y+2z) ² = (−2x) ² +(3y) ² +(2z) ² +(2×−2x×3y)+(2×3y×2z)+(2×2z×−2x) )

= 4x ^​​2 +9y ² +4z ² -12xy+12yz-8xz

(iv) (3a-7b-c) ²

समाधान:

सर्वसमिका का उपयोग करना (x+y+z) ² = x ² +y ² +z ² +2xy+2yz+2zx

यहाँ, x = 3a

वाई = - 7बी

जेड = - सी

(3a - 7b - c) ² = (3a) ² + (-7b) ² + (- c) ² + (2 x 3a x - 7b) + (2 x - 7b x - c) + (2 x - c ) ×3ए)

= 9a ² + 49b ² + c ² - 42ab + 14bc–6ca

(v) (-2x+5y-3z) ²

समाधान:

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, (x+y+z) ² = x ² +y ² +z ² +2xy+2yz+2zx

यहाँ, x = -2x

वाई = 5y

जेड = - 3z

(-2x+5y–3z) ² = (-2x) ² +(5y) ² +(-3z) ² + (2×-2x × 5y) + (2× 5y×-3z)+(2×-3z) ) ×-2x)

= 4x ^​​2 +25y ² +9z ² - 20xy–30yz+12zx

(vi) ((1/4) ए- (1/2) बी+1) ²

समाधान:

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, (x+y+z) ² = x ² +y ² +z ² +2xy+2yz+2zx

यहाँ, x = (1/4)a

वाई = (-1/2)बी

जेड = 1

5. कारक बनाना:

(i) 4x ² +9y ² +16z ² +12xy–24yz–16xz

(ii) 2x ² +y ² +8z ² -2√2xy+4√2yz-8xz

समाधान:

(i) 4x ² +9y ² +16z ² +12xy–24yz–16xz

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, (x+y+z) ² = x ² +y ² +z ² +2xy+2yz+2zx

हम कह सकते हैं कि, x ² +y ² +z ² +2xy+2yz+2zx = (x+y+z) ²

4x ² +9y ² +16z ² +12xy–24yz–16xz = (2x) ² +(3y) ² +(−4z) ² +(2×2x×3y)+(2×3y×−4z)+(2 ×−4z × 2x)

= (2x+3y-4z) ²

= (2x+3y–4z)(2x+3y–4z)

(ii) 2x ² +y ² +8z ² -2√2xy+4√2yz–8xz

सर्वसमिका का प्रयोग करते हुए, (x +y+z) ² = x ² +y ² +z ² +2xy+2yz+2zx

हम कह सकते हैं कि, x ² +y ² +z ² +2xy+2yz+2zx = (x+y+z) ²

2x ² +y ² +8z ² -2√2xy+4√2yz–8xz

= (-√2x) ² +(y) ² +(2√2z) ² +(2×-√2x×y)+(2×y×2√2z)+(2×2√2×−√2x )

= (−√2x+y+2√2z) ²

= (−√2x+y+2√2z)(−√2x+y+2√2z)

6. निम्नलिखित घनों को विस्तृत रूप में लिखिए:

(i) (2x + 1) ³

(ii) (2ए - 3बी) ³

(iii) ((3/2)x+1) ³

(iv) (x−(2/3)y) ³

समाधान:

(i) (2x + 1) ³

सर्वसमिका का प्रयोग करते हुए,(x+y) ³ = x ³ +y ³ +3xy(x+y)

(2x + 1) ³ = (2x) ³ +1 ³ + (3 × 2x × 1) (2x + 1)

= 8x ³ +1+6x (2x+1)

= 8x ³ +12x ² +6x+1

(ii) (2ए - 3बी) ³

सर्वसमिका का प्रयोग करते हुए,(x–y) ³ = x ³ –y ³ –3xy(x–y)

(2a - 3b) ³ = (2a) ³ - (3b) ³ - (3 × 2a × 3b) (2a - 3b)

= 8a ³ -27b ³ -18ab (2a - 3b)

= 8a ³ –27b ³ –36a ² b+54ab ²

(iii) ((3/2)x+1) ³

सर्वसमिका का प्रयोग करते हुए,(x+y) ³ = x ³ +y ³ +3xy(x+y)

((3/2)x+1) ³ =((3/2)x) ³ +1 ³ +(3×(3/2)x×1)((3/2)x +1)

(iv) (x−(2/3)y) ³

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, (x –y) ³ = x ³ –y ³ –3xy(x–y)

7. उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित का मूल्यांकन कीजिए: 

(i) (99) ³

(ii) (102) ³

(iii) (998) ³

समाधान:

(i) (99) ³

समाधान:

हम 99 को 100-1 . के रूप में लिख सकते हैं

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, (x –y) ³ = x ³ –y ³ –3xy(x–y)

(99) ³ = (100–1) ³

= (100) ³ –1 ³ -(3×100×1)(100-1)

= 1000000 -1–300 (100 – 1)

= 1000000–1–30000+300

= 970299

(ii) (102) ³

समाधान:

हम 102 को 100+2 . के रूप में लिख सकते हैं

सर्वसमिका का प्रयोग करते हुए,(x+y) ³ = x ³ +y ³ +3xy(x+y)

(100+2) ³ =(100) ³ +2 ³ +(3×100×2)(100+2)

= 1000000 + 8 + 600 (100 + 2)

= 1000000 + 8 + 60000 + 1200

= 1061208

(iii) (998) ³

समाधान:

हम 99 को 1000-2 . के रूप में लिख सकते हैं

सर्वसमिका का प्रयोग करते हुए,(x–y) ³ = x ³ –y ³ –3xy(x–y)

(998) ³ = (1000-2) ³

=(1000) ³ –2 ³ –(3×1000×2)(1000-2)

= 1000000000-8-6000 (1000-2)

= 1000000000–8- 6000000+12000

= 994011992

8. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड कीजिए:

(i) 8a ³ + b ³ + 12a ² b + 6ab ²

⁽ ii) 8a ³ -b 3-12a ² b + 6ab ²

(iii) 27–125a ³ –135a +225a ²   

(iv) 64a ³ -27b 3-144a ² b+ ^108ab 2

(v) 27p ³ –(1/216)-(9/2) पी ² +(1/4)पी

समाधान:

(i) 8a ³ + b ³ + 12a ² b + 6ab ²

समाधान:

व्यंजक, 8a ³ +b ³ +12a ² b+6ab ^{2 को (2a) 3} +b ³ +3(2a) ² b+3(2a)(b) ² के रूप में लिखा जा सकता है

8a ³ +b ³ +12a ² b+6ab ² = (2a) ³ +b ³ +3(2a) ² b+3(2a)(b) ²

= (2ए+बी) ³

= (2a+b)(2a+b)(2a+b)

यहाँ सर्वसमिका (x +y) ³ = x ³ +y ³ +3xy(x+y) का प्रयोग किया जाता है।

⁽ ii) 8a ³ -b 3-12a ² b + 6ab ²

समाधान:

व्यंजक, 8a ³ –b ³ −12a ² b+6ab ^{2 को (2a) 3} –b ³ -3(2a) ² b+3(2a)(b) ² के रूप में लिखा जा सकता है

8a ³ –b ³ −12a ² b+6ab ² = (2a) ³ –b ³ -3(2a) ² b+3(2a)(b) ²

= (2a-b) ³

= (2a-b)(2a-b)(2a-b)

यहाँ सर्वसमिका (x–y) ³ = x ³ –y ³ –3xy(x–y) का प्रयोग किया जाता है।

(iii) 27-125ए ^3-135ए +225ए ² 

समाधान:

व्यंजक, 27–125a ³ –135a +225a ^{2 को 3 3} –(5a) ^3-3 (3) ² (5a)+3(3)(5a) ² के रूप में लिखा जा सकता है

27–125a ³ –135a+225a ² =
3 ³ –(5a) ³ -3(3) ² (5a)+3(3)(5a) ²

= (3-5a) ³

= (3–5a)(3–5a)(3–5a)

यहाँ सर्वसमिका (x–y) ³ = x ³ –y ³ -3xy(x–y) का प्रयोग किया जाता है।

(iv) 64a3–27b3–144a ² b+108ab ²

समाधान:

व्यंजक, 64a ³ –27b 3-144a ² b+108ab ² को (4a) ³ –(3b) ³ -3(4a) ² (3b)+3(4a)(3b) ^{2 के रूप में लिखा जा सकता है}

64a ³ -27b ³ -144a ² b + 108ab ² =
(4a) ³ - (3b) ³ -3 (4a) ² (3b) +3 (4a) (3b) ²

= (4a - 3b) ³

= (4a – 3b) (4a – 3b) (4a – 3b)

यहाँ सर्वसमिका (x - y) ³ = x ³ - y ³ - 3xy(x - y) का प्रयोग किया जाता है।

(v) 7p ³ - (1/216)-(9/2) p ² +(1/4)p

समाधान:

व्यंजक, 27p ³ -(1/216)−(9/2) p ² +(1/4)p

^{(3p) 3} –(1/6) ³ –3(3p) ² (1/6)+3(3p)(1/6) ² के रूप में लिखा जा सकता है

27p ³ –(1/216)-(9/2) पी ² +(1/4)पी =
( 3पी) ^3- (1/6) ³ -3(3पी) ² (1/6)+3(3पी) )(1/6) ²

= (3p-16) ³

= (3p–16)(3p–16)(3p–16)

9. सत्यापित करें:

(i) x ³ +y ³ = (x+y)(x ² -xy+y ² )

(ii) x ³ - y ³ = (x–y) (x ² +xy+y ² )

समाधान:

(i) x ³ +y ³ = (x+y)(x ² -xy+y ² )

हम जानते हैं कि, (x+y) ³ = x ³ +y ³ +3xy(x+y)

⇒ x ³ +y ³ = (x+y) ³ -3xy(x+y)

⇒ x ³ +y ³ = (x+y)[(x+y) ² -3xy]

(x+y) उभयनिष्ठ x ³ +y ³ = (x+y) लेना [(x ² +y ² +2xy)-3xy]

⇒ x ³ +y ³ = (x+y)(x ² +y ² –xy)

(ii) x ³ - y ³ = (x–y) (x ² +xy+y ² ) 

हम जानते हैं कि,(x–y) ³ = x ³ –y ³ –3xy(x–y)

⇒ x ³ −y ³ = (x–y) ³ +3xy(x–y)

⇒ x ³ −y ³ = (x–y)[(x–y) ² +3xy]

(x+y) उभयनिष्ठ ⇒ x ³ −y ³ = (x–y) लेना[(x ² +y ² –2xy)+3xy]

⇒ x ³ +y ³ = (x–y)(x ² +y ² +xy)

10. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड कीजिए:

(i) 27y ³ +125z ³

(ii) 64मी ³ –343एन ³

समाधान:

(i) 27y ³ +125z ³

व्यंजक, 27y ³ +125z ³ को (3y) ³ +(5z) ^{3 . के रूप में लिखा जा सकता है}

27y3 +125z3 = (3y) ³ +( ^5z ) 3

हम जानते हैं कि, x ³ +y ³ = (x+y)(x ² –xy+y ² )

27y3 +125z3 = (3y) ³ +( ^5z ) 3

= (3y+5z)[(3y) ² -(3y)(5z)+(5z) ² ]

= (3y+5z)(9y ² -15yz+25z ² )

(ii) 64मी ³ –343एन ³

व्यंजक, 64m ³ –343n ³ को (4m) ³ –(7n) ^{3 . के रूप में लिखा जा सकता है}

64m ³ -343n ³ =
(4m) ³ - (7n) ³

हम जानते हैं कि, x ³ –y ³ = (x–y)(x ² +xy+y ² )

64m ³ -343n ³ = (4m) ³ - (7n) ³

= (4m-7n) (4m) ² + (4m) (7n) + (7n) ² ]

= (4m-7n) (16m ² + 28mn + 49n ² )

11. गुणनखंड: 27x ³ +y ³ +z ³ -9xyz 

समाधान:

व्यंजक 27x ³ +y ³ +z ³ -9xyz (3x) ³ +y ³ +z ^3-3 (3x)(y)(z) के रूप में लिखा जा सकता है

27x ³ +y ³ +z ³ -9xyz = (3x) ³ +y ³ +z ³ -3 (3x)(y)(z)

हम जानते हैं कि, x ³ +y ³ +z ³ –3xyz = (x+y+z)(x ² +y ² +z ² –xy –yz–zx)

27x ³ +y ³ +z ³ -9xyz = (3x) ³ +y ³ +z ³ -3 (3x)(y)(z)

= (3x+y+z)[(3x) ² +y ² +z ² -3xy–yz–3xz]

= (3x+y+z)(9x ² +y ² +z ² –3xy–yz–3xz)

12. सत्यापित करें कि:

x ³ +y ³ +z ³ –3xyz = (1/2) (x+y+z)[(x–y) ² +(y–z) ² +(z–x) ² ]

समाधान:

हम जानते हैं कि,

x ³ +y ³ +z ³ −3xyz = (x+y+z)(x ² +y ² +z ² –xy–yz–xz)

x ³ +y ³ +z ³ –3xyz = (1/2)(x+y+z)[2(x ² +y ² +z ² –xy–yz–xz)]

= (1/2)(x+y+z)(2x ² +2y ² +2z ² –2xy–2yz–2xz)

= (1/2)(x+y+z)[(x ² +y ² −2xy)+(y ² +z ² -2yz)+(x ² +z ² -2xz)]

= (1/2)(x+y+z)[(x–y) ² +(y–z) ² +(z–x) ² ]

13. यदि x+y+z = 0, तो दर्शाइए कि x ³ +y ³ +z ³ = 3xyz।

समाधान:

हम जानते हैं कि,

x ³ +y ³ +z ³ -3xyz = (x +y+z)(x ² +y ² +z ² –xy–yz–xz)

अब, प्रश्न के अनुसार, मान लीजिए (x+y+z) = 0,

तो, x ³ +y ³ +z ³ -3xyz = (0)(x ² +y ² +z ² –xy–yz–xz)

x ³ +y ³ +z ³ -3xyz = 0

x ³ +y ³ +z ³ = 3xyz

इसलिए सिद्ध

14. वास्तव में घनों की गणना किए बिना, निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए:

(i) (−12) ³ +(7) ³ +(5) ³

(ii) (28) ³ +(−15) ³ +(−13) ³

समाधान:

(i) (−12) ³ +(7) ³ +(5) ³

मान लीजिए a = -12

बी = 7

सी = 5

हम जानते हैं कि यदि x+y+z = 0, तो x ³ +y ³ +z ³ =3xyz।

यहाँ, −12+7+5=0

(−12) ³ +(7) ³ +(5) ³ = 3xyz

= 3×-12×7×5

= -1260

(ii) (28) ³ +(−15) ³ +(−13) ³

समाधान:

(28) ³ +(−15) ³ +(−13) ³

मान लीजिए a = 28

बी = -15

सी = −13

हम जानते हैं कि यदि x+y+z = 0, तो x ³ +y ³ +z ³ = 3xyz।

यहाँ, x+y+z = 28–15–13 = 0

(28) ³ +(−15) ³ +(−13) ³ = 3xyz

= 0+3(28)(−15)(−13)

= 16380

15. निम्नलिखित आयतों में से प्रत्येक की लंबाई और चौड़ाई के लिए संभावित व्यंजक दें, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं: 

(i) क्षेत्रफल : 25a 2-35a+ ¹²

(ii) क्षेत्रफल : 35y ² +13y-12

समाधान:

(i) क्षेत्रफल : 25a 2-35a+ ¹²

मध्यावधि विधि को विभाजित करने का उपयोग करते हुए,

हमें एक संख्या ज्ञात करनी है जिसका योग = -35 और गुणनफल =25×12=300

हम -15 और -20 को संख्याओं के रूप में प्राप्त करते हैं [-15+-20=-35 and -15×-20=300]

25a ² -35a+12 = 25a ² -15a−20a+12

= 5a(5a–3)–4(5a–3)

= (5a–4)(5a–3)

लंबाई के लिए संभावित व्यंजक = 5a–4

चौड़ाई के लिए संभावित व्यंजक = 5a -3

(ii) क्षेत्रफल : 35y ² +13y-12

मध्यावधि विधि को विभाजित करने का उपयोग करते हुए,

हमें एक संख्या ज्ञात करनी है जिसका योग = 13 और गुणनफल = 35×-12 = 420

हम -15 और 28 को संख्याओं के रूप में प्राप्त करते हैं [-15+28 = 13 और -15×28=420]

35y ² +13y-12 = 35y ^2-15y +28y-12

= 5y(7y–3) + 4(7y–3)

= (5y+4)(7y-3)

लंबाई के लिए संभावित व्यंजक = (5y+4)

चौड़ाई के लिए संभावित व्यंजक = (7y–3)

16. उन घनाभों की विमाओं के लिए संभावित व्यंजक क्या हैं जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं? 

(i) आयतन : 3x ^2-12x

(ii) आयतन : 12ky ² +8ky-20k

समाधान:

(i) आयतन : 3x ^2-12x

दोनों पदों में से 3x निकालकर 3x 2-12x को 3x(x–4) के रूप में लिखा जा सकता है ^।

लंबाई के लिए संभावित व्यंजक = 3

चौड़ाई के लिए संभावित व्यंजक = x

ऊँचाई के लिए संभावित व्यंजक = (x–4)

(ii) आयतन:
12ky ² +8ky–20k

दोनों पदों में से 4k निकालकर 12ky ² +8ky–20k को 4k(3y ² +2y–5) के रूप में लिखा जा सकता है।

12ky ² + 8ky - 20k = 4k (3y ² + 2y - 5)

[यहाँ, 3y ² +2y–5 को मध्य पद विधि को विभाजित करके 3y ^{2 +5y–3y–5 के रूप में लिखा जा सकता है।]}

= 4k(3y ² +5y-3y-5)

= 4k[y(3y+5)-1(3y+5)]

= 4k(3y+5)(y-1)

लंबाई के लिए संभावित व्यंजक = 4k

चौड़ाई के लिए संभावित व्यंजक = (3y +5)

ऊंचाई के लिए संभावित अभिव्यक्ति = (y -1)

NCERT Solutions for Class 9 Mathematics (Hindi Medium)

एनसीईआरटी कक्षा 9 गणित अध्याय 2 - बहुपद 

एनसीईआरटी सोलूशन्स क्लास 9 गणित चैप्टर 2 बहुपद यहाँ दिए गए हैं। ये एनसीईआरटी समाधान GovtVacancy.Net विशेषज्ञ संकायों द्वारा छात्रों को उनके दूसरे सत्र की परीक्षा की तैयारी में मदद करने के लिए बनाए गए हैं। ये विशेषज्ञ संकाय कक्षा 9 के लिए एनसीईआरटी समाधान हल करते हैं और प्रदान करते हैं ताकि यह छात्रों को समस्याओं को आराम से हल करने में मदद कर सके। वे कक्षा 9 के लिए एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक में अभ्यास में दी गई समस्याओं के प्रत्येक उत्तर का विस्तृत और चरणबद्ध विवरण देते हैं।

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