कक्षा 9 गणित अध्याय 5 - यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय | NCERT Solutions for Class 9 Maths

एनसीईआरटी कक्षा 9 गणित अध्याय 5 - यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय

प्रश्नावली 5.1

1. निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं और कौन से असत्य हैं? अपने उत्तरों के लिए कारण दीजिए।

(i) एक बिंदु से केवल एक रेखा गुजर सकती है।

(ii) अनंत रेखाएँ हैं जो दो भिन्न बिंदुओं से होकर गुजरती हैं।

(iii) एक समाप्त रेखा दोनों ओर अनिश्चित काल तक उत्पन्न की जा सकती है।

(iv) यदि दो वृत्त बराबर हों, तो उनकी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं।

(v) आकृति 5.9 में, यदि AB = PQ और PQ = XY, तो AB = XY।

समाधान:

(i) झूठा

एक बिंदु से होकर खींची जा सकने वाली असंख्य रेखाएँ हो सकती हैं। अत: उल्लिखित कथन असत्य है

(ii) असत्य

दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है। अत: उल्लिखित कथन असत्य है

(iii) सच

एक रेखा जिसे समाप्त किया जाता है, दोनों पक्षों पर अनिश्चित काल के लिए उत्पन्न किया जा सकता है क्योंकि एक रेखा को इसके दोनों ओर असीम रूप से बढ़ाया जा सकता है। अतः उल्लिखित कथन सत्य है।

(iv) सत्य

जब दो वृत्त बराबर होते हैं तो दो वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं। दोनों वृत्तों की परिधि और केंद्र मेल खाते हैं; और इस प्रकार, दो वृत्तों की त्रिज्या बराबर होनी चाहिए। अतः उल्लिखित कथन सत्य है।

(v) सत्य

यूक्लिड के पहले स्वयंसिद्ध के ^{अनुसार-}  "जो चीजें एक ही चीज के बराबर होती हैं वे एक दूसरे के बराबर भी होती हैं"। अतः उल्लिखित कथन सत्य है।

2. निम्नलिखित में से प्रत्येक पद की परिभाषा दीजिए। क्या ऐसे अन्य शब्द हैं जिन्हें पहले परिभाषित करने की आवश्यकता है? वे क्या हैं, और आप उन्हें कैसे परिभाषित कर सकते हैं?

(i) समानांतर रेखाएं

(ii) लंबवत रेखाएं

(iii) रेखा खंड

(iv) एक वृत्त की त्रिज्या

(v) वर्ग

समाधान:

हां, कुछ अन्य शब्द हैं जिन्हें पहले परिभाषित करने की आवश्यकता है, वे हैं:

समतल: समतल सतहें जिनमें ज्यामितीय आकृतियाँ खींची जा सकती हैं, समतल कहलाती हैं। एक समतल सतह एक ऐसी सतह होती है जो अपने आप में सीधी रेखाओं के साथ समान रूप से स्थित होती है।

बिंदु: एक आयामहीन बिंदु जो एक समतल सतह पर खींचा जाता है, बिंदु के रूप में जाना जाता है। बिंदु वह है जिसका कोई हिस्सा नहीं है।

रेखा (Line) : बिन्दुओं का वह संग्रह जिसमें केवल लम्बाई और चौड़ाई न हो, रेखा कहलाती है। और इसे दोनों दिशाओं में बढ़ाया जा सकता है। एक रेखा चौड़ाई-रहित लंबाई की होती है।

(i) समानांतर रेखाएँ - समानांतर रेखाएँ वे रेखाएँ होती हैं जो कभी एक दूसरे को नहीं काटती हैं और हमेशा एक दूसरे से लंबवत दूरी पर होती हैं। समानांतर रेखाएं दो या दो से अधिक रेखाएं हो सकती हैं।

(ii) लम्बवत रेखाएँ - लम्बवत रेखाएँ वे रेखाएँ होती हैं जो समतल में एक दूसरे को समकोण पर काटती हैं तो रेखाएँ एक-दूसरे पर लंबवत कहलाती हैं।

(iii) रेखाखंड - जब किसी रेखा को उसके दो अंतिम बिंदुओं के कारण और आगे नहीं बढ़ाया जा सकता है तो वह रेखा रेखाखंड के रूप में जानी जाती है। एक रेखा खंड में 2 अंत बिंदु होते हैं।

(iv) वृत्त की त्रिज्या - वृत्त की त्रिज्या वृत्त की परिधि के किसी भी बिंदु से वृत्त के केंद्र तक की रेखा होती है।

(v) वर्ग - वह चतुर्भुज जिसकी चारों भुजाएँ समान हों और उसका प्रत्येक आंतरिक कोण समकोण हो, वर्ग कहलाता है।

3. नीचे दी गई दो अभिधारणाओं पर विचार करें:

(i) किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं A और B को देखते हुए, एक तीसरा बिंदु C मौजूद है जो A और B के बीच में है।

(ii) ऐसे कम से कम तीन बिंदु मौजूद हैं जो एक ही रेखा पर नहीं हैं।

क्या इन अभिधारणाओं में कोई अपरिभाषित पद हैं? क्या ये अभिधारणा सुसंगत हैं? क्या वे यूक्लिड की अभिधारणाओं का अनुसरण करते हैं? समझाना।

समाधान:

हां, इन अभिधारणाओं में अपरिभाषित पद हैं। अभिधारणाओं में अपरिभाषित पद हैं:

- ऐसे कई बिंदु हैं जो एक समतल में स्थित होते हैं। लेकिन, यहां दी गई अभिधारणाओं में, बिंदु C की स्थिति नहीं दी गई है, जैसे कि वह AB को मिलाने वाले रेखाखंड पर स्थित है या नहीं।

- उसके ऊपर, इस बारे में कोई जानकारी नहीं है कि बिंदु एक ही विमान में हैं या नहीं।

और

हाँ, जब हम इन दो स्थितियों से निपटते हैं तो ये अभिधारणाएँ संगत होती हैं:

- बिंदु C, A और B के बीच रेखाखंड AB पर स्थित है।

- बिंदु C रेखाखंड AB पर नहीं है।

नहीं, वे यूक्लिड की अभिधारणाओं का पालन नहीं करते हैं। वे सिद्धांतों का पालन करते हैं।

4. यदि एक बिंदु C दो बिंदुओं A और B के बीच इस प्रकार स्थित है कि AC = BC है, तो सिद्ध कीजिए कि AC = ½ AB है। चित्र बनाकर समझाइए।

समाधान:

दिया गया है, AC = BC

अब दोनों तरफ एसी लगा रहे हैं।

एलएचएस + एसी = आरएचएस + एसी

एसी + एसी = बीसी + एसी

2एसी = बीसी+एसी

हम जानते हैं कि, BC+AC = AB (क्योंकि यह रेखाखंड AB के साथ संपाती है)

∴ 2 एसी = एबी (यदि बराबर को बराबर में जोड़ा जाता है, तो पूर्ण बराबर होते हैं।)

एसी = एबी।

5. प्रश्न 4 में, बिंदु C को रेखाखंड AB का मध्य-बिंदु कहा जाता है। सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक रेखाखंड में एक और केवल एक मध्य-बिंदु होता है।

समाधान:

माना, AB रेखाखंड है

मान लीजिए कि बिंदु P और Q AB के दो अलग-अलग मध्य बिंदु हैं।

अभी,

P और Q AB के मध्यबिंदु हैं।

इसलिए,

एपी = पीबी और एक्यू = क्यूबी।

भी,

PB+AP = AB (क्योंकि यह रेखाखंड AB से संपाती है)

इसी तरह, क्यूबी + एक्यू = एबी।

अभी,

समीकरण AP = PB . के LHS और RHS में AP को जोड़ने पर

हम पाते हैं, AP+AP = PB+AP (यदि बराबर को बराबर में जोड़ा जाता है, तो पूर्ण बराबर होते हैं।)

⇒ 2AP = AB — (i)

इसी तरह,

2 एक्यू = एबी - (ii)

(i) और (ii) से, क्योंकि RHS समान हैं, हम LHS को समान करते हैं

2 एपी = 2 एक्यू (जो चीजें एक ही चीज के बराबर होती हैं वे एक दूसरे के बराबर होती हैं।)

AP = AQ (जो वस्तुएँ एक ही वस्तु की दुगुनी होती हैं वे एक दूसरे के बराबर होती हैं।)

इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि P और Q एक ही बिंदु हैं।

यह हमारी इस धारणा का खंडन करता है कि P और Q AB के दो अलग-अलग मध्य बिंदु हैं।

इस प्रकार, यह सिद्ध हो जाता है कि प्रत्येक रेखाखंड में एक और केवल एक मध्य-बिंदु होता है।

इसलिए सिद्ध।

6. आकृति 5.10 में, यदि AC = BD है, तो सिद्ध कीजिए कि AB = CD है।

समाधान:

यह दिया गया है, AC = BD

दी गई आकृति से, हम प्राप्त करते हैं,

एसी = एबी + बीसी

बीडी = बीसी + सीडी

AB+BC = BC+CD [AC = BD, दिया गया]

हम जानते हैं कि, यूक्लिड के अभिगृहीत के अनुसार, जब बराबर को बराबर में से घटाया जाता है, तो शेष भी बराबर होते हैं।

समीकरण AB+BC = BC+CD के LHS और RHS में से BC घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं,

एबी+बीसी-बीसी = बीसी+सीडी-बीसी

एबी = सीडी

इसलिए सिद्ध।

7. यूक्लिड के अभिगृहीतों की सूची में अभिगृहीत 5 को 'सार्वभौमिक सत्य' क्यों माना जाता है? (ध्यान दें कि प्रश्न पांचवीं अभिधारणा के बारे में नहीं है।)

समाधान:

अभिगृहीत 5: पूर्ण हमेशा भाग से बड़ा होता है।

उदाहरण के लिए: एक केक। जब यह पूर्ण या पूर्ण हो, तो मान लें कि इसका माप 2 पाउंड है लेकिन जब इसका एक हिस्सा निकाला और मापा जाता है, तो इसका वजन पिछले माप से छोटा होगा। तो, यूक्लिड का पांचवां स्वयंसिद्ध ब्रह्मांड के सभी पदार्थों के लिए सत्य है। इसलिए, यूक्लिड के अभिगृहीतों की सूची में अभिगृहीत 5 को 'सार्वभौमिक सत्य' माना जाता है।

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प्रश्नावली 5.2

1. आप यूक्लिड की पांचवीं अभिधारणा को कैसे फिर से लिखेंगे ताकि इसे समझना आसान हो जाए?

समाधान:

यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा: यदि दो सीधी रेखाओं पर पड़ने वाली एक सीधी रेखा उसके एक ही तरफ के आंतरिक कोणों को दो समकोणों से कम बनाती है, तो दो सीधी रेखाएँ, यदि अनिश्चित काल तक उत्पन्न होती हैं, तो उस तरफ मिलती हैं जिस पर योग का योग होता है कोण दो समकोण से कम होते हैं।

यानी, यूक्लिड की पांचवीं अभिधारणा समानांतर रेखाओं के बारे में है।

समानांतर रेखाएं वे रेखाएं होती हैं जो एक दूसरे को कभी नहीं काटती हैं और हमेशा एक दूसरे से अलग लंबवत दूरी पर होती हैं। समानांतर रेखाएं दो या दो से अधिक रेखाएं हो सकती हैं।

A: यदि X रेखा A पर नहीं है तो हम X से होकर जाने वाली एक रेखा खींच सकते हैं जो रेखा A के समानांतर होगी।

बी: केवल एक रेखा हो सकती है जो बिंदु एक्स के माध्यम से खींची जा सकती है जो रेखा ए के समानांतर है।

2. क्या यूक्लिड की पांचवीं अभिधारणा समानांतर रेखाओं के अस्तित्व का संकेत देती है? समझाना।

समाधान:

हाँ, यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा समानांतर रेखाओं के अस्तित्व का संकेत देती है।

यदि आंतरिक कोणों का योग समकोणों के योग के बराबर है, तो दोनों रेखाएँ किसी भी बिंदु पर एक-दूसरे से नहीं मिलेंगी, इसलिए वे एक-दूसरे के समानांतर हो जाती हैं।

∠1+∠3 = 180 ^o

या 3+∠4 = 180 ^o

 

 

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NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 5 यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय

अध्याय 5 यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय इकाई 4: ज्यामिति से संबंधित है। इस विशेष इकाई में 100 में से 28 अंक हैं। इसलिए, यह सुनिश्चित करना काफी महत्वपूर्ण है कि इस अध्याय का अच्छी तरह से अध्ययन किया जाए। इस अध्याय के अंतर्गत आने वाले महत्वपूर्ण विषय हैं:

• यूक्लिड की परिभाषाएं
• अभिगृहीत और अभिधारणा

यूक्लिडियन ज्यामिति एक प्रणाली है जिसे अलेक्जेंड्रिया-ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा 300 ईसा पूर्व के आसपास पेश किया गया था। 2,000 से अधिक वर्षों के बाद भी, यूक्लिड का योगदान अभी भी मान्य है। इसमें इंजीनियरिंग से लेकर सैद्धांतिक भौतिकी तक कई क्षेत्रों में व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं। गणित और विज्ञान के विभिन्न विषयों में इसका अकादमिक महत्व और निहितार्थ भी है।

अन्वेषण करें कि यूक्लिडियन ज्यामिति कैसे काम करती है और विभिन्न प्रमेयों की खोज करें। अभ्यास करने में आपकी मदद करने के लिए कक्षा 9 गणित के लिए और अधिक महत्वपूर्ण एनसीईआरटी समाधान खोजें।

एनसीईआरटी सोलूशन्स क्लास 9 मैथ्स चैप्टर 5 की मुख्य विशेषताएं यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय

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5. निर्धारित पाठ्यक्रम से नवीनतम प्रश्न शामिल हैं
6. पिछले वर्ष के प्रश्न पत्रों का व्यापक विश्लेषण
7. अतिरिक्त शिक्षण संसाधनों का अन्वेषण करें जैसे नमूना पत्र और बहुत कुछ

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