कक्षा 9 गणित अध्याय 6 - रेखाएं और कोण | NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 6

कक्षा 9 गणित अध्याय 6 - रेखाएं और कोण

प्रश्नावली: 6.1

1. आकृति 6.13 में, रेखाएँ AB और CD, O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ZAOC + ZBOE = 70° और ZBOD = 40° है, तो ZBOE और प्रतिवर्ती COE ज्ञात कीजिए।

समाधान:

आरेख से, हमारे पास है

(∠AOC +∠BOE +∠COE) और (∠COE +∠BOD +∠BOE) एक सीधी रेखा बनाते हैं।

अत: AOC+∠BOE +∠COE = COE +∠BOD+∠BOE = 180°

अब, AOC + BOE = 70° और BOD = 40° का मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

COE = 110° और BOE = 30°

अतः प्रतिवर्त COE = 360 ^o - 110 ^o = 250 ^o

2. आकृति 6.14 में, रेखाएँ XY और MN O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ZPOY = 90° और a: b = 2: 3 है, तो c ज्ञात कीजिए।

समाधान:

हम जानते हैं कि रैखिक युग्म का योग सदैव 180° . के बराबर होता है

इसलिए,

POY +a +b = 180°

POY = 90° (जैसा कि प्रश्न में दिया गया है) का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है,

ए+बी = 90°

अब, यह दिया गया है कि a : b = 2: 3 इसलिए,

मान लीजिए a 2x है और b 3x है

∴ 2x+3x = 90°

इसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है

5x = 90°

अत: x = 18°

ए = 2×18° = 36°

इसी तरह, b की गणना की जा सकती है और मान होगा

बी = 3×18° = 54°

आरेख से, b+c भी एक सीधा कोण बनाता है, इसलिए,

बी+सी = 180°

सी+54° = 180°

∴ सी = 126°

3. आकृति 6.15 में, PQR = PRQ, तो सिद्ध कीजिए कि PQS = PRT।

समाधान:

चूँकि ST एक सीधी रेखा है इसलिए,

PQS+ ∠ PQR = 180° (रैखिक जोड़ी) और

PRT+ PRQ = 180° (रैखिक युग्म)

अब,  PQS +  ∠ PQR =  PRT + PRQ = 180°

चूँकि  PQR = PRQ ( जैसा कि प्रश्न में दिया गया है)

पीक्यूएस =  ∠ पीआरटी। (इसलिए सिद्ध)।

4. आकृति 6.16 में, यदि x+y = w+z, तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक रेखा है।

समाधान:

यह सिद्ध करने के लिए कि AOB एक सीधी रेखा है, हमें यह सिद्ध करना होगा कि x+y एक रैखिक युग्म है

यानी x+y = 180°

हम जानते हैं कि एक बिंदु के चारों ओर के कोण 360° होते हैं इसलिए,

x + y + w + z = 360 °

प्रश्न में यह दिया गया है कि,

एक्स + वाई = डब्ल्यू + जेड

तो, (x+y)+(x+y) = 360°

2(x+y) = 360°

(x+y) = 180° (इसलिए सिद्ध)।

5. आकृति 6.17 में, POQ एक रेखा है। किरण OR रेखा PQ पर लंबवत है। OS एक अन्य किरण है जो OP और OR किरणों के बीच स्थित है। सिद्ध कीजिए कि ROS = ½ (∠QOS - POS)।

समाधान:

प्रश्न में यह दिया गया है कि (या PQ) और POQ = 180°

तो, ∠POS+∠ROS+∠ROQ = 180°

अब, ∠POS+∠ROS = 180°- 90° (चूंकि ∠POR = ∠ROQ = 90°)

POS + ∠ROS = 90°

अब, QOS = ROQ+∠ROS

यह दिया गया है कि ∠ROQ = 90°,

QOS = 90° +∠ROS

या, QOS - ROS = 90°

POS + ROS = 90° और ∠QOS - ROS = 90° के रूप में, हम प्राप्त करते हैं

POS + ROS = ∠QOS – ROS

2 ROS + POS = QOS

या, ROS = ½ (∠QOS - ∠POS) (इसलिए सिद्ध)।

6. यह दिया गया है कि XYZ = 64° और XY को बिंदु P तक बढ़ाया जाता है। दी गई जानकारी से एक आकृति बनाएं। यदि किरण YQ ∠ZYP को समद्विभाजित करती है, तो XYQ और प्रतिवर्त QYP ज्ञात कीजिए।

समाधान:

यहाँ, XP एक सीधी रेखा है

अत: ∠XYZ +∠ZYP = 180°

XYZ = 64° का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है,

64° +∠ZYP = 180°

ZYP = 116°

आरेख से हम यह भी जानते हैं कि ZYP = ZYQ + QYP

अब, जैसे YQ ZYP को समद्विभाजित करता है,

ZYQ = QYP

या, ZYP = 2∠ZYQ

ZYQ = ∠QYP = 58°

फिर से, XYQ = ∠XYZ + ZYQ

XYZ = 64° और ZYQ = 58° का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है।

XYQ = 64°+58°

या, XYQ = 122°

अब, प्रतिवर्त QYP = 180°+XYQ

हमने गणना की कि ∠XYQ का मान = 122° है।

इसलिए,

क्यूवाईपी = 180°+122°

क्यूवाईपी = 302°

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प्रश्नावली: 6.2 

1. आकृति 6.28 में, x और y के मान ज्ञात कीजिए और फिर दर्शाइए कि AB || सीडी.

समाधान:

हम जानते हैं कि एक रैखिक युग्म 180° के बराबर होता है।

अत: x+50° = 180°

∴ x = 130°

हम यह भी जानते हैं कि शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।

तो, y = 130°

दो समानांतर रेखाओं में, एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं। इस में,

x = y = 130°

इससे सिद्ध होता है कि एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं और इसलिए, AB || सीडी.

2. आकृति 6.29 में, यदि AB || सीडी, सीडी || EF और y: z = 3: 7, x ज्ञात कीजिए।

समाधान:

यह ज्ञात है कि एबी || सीडी और सीडी||ईएफ

चूंकि एक तिर्यक रेखा के एक ही तरफ के कोणों का योग 180° तक होता है,

x + y = 180° —–(i)

भी,

O = z (चूंकि वे संगत कोण हैं)

और, y +∠O = 180° (चूंकि वे एक रैखिक युग्म हैं)

अत: y+z = 180°

अब, माना y = 3w और इसलिए, z = 7w (जैसा कि y : z = 3 : 7)

3w+7w = 180°

या, 10 w = 180°

अतः, w = 18°

अब, y = 3×18° = 54°

और, z = 7×18° = 126°

अब, कोण x की गणना समीकरण (i) से की जा सकती है

एक्स+वाई = 180°

या, x+54° = 180°

∴ x = 126°

3. आकृति 6.30 में, यदि AB || CD, EF CD और GED = 126°, AGE, ∠GEF और FGE ज्ञात कीजिए।

समाधान:

चूंकि एबी || सीडी, जीई एक तिर्यक रेखा है।

यह दिया गया है कि ∠GED = 126°

अत: ∠GED = ∠AGE = 126° (चूंकि वे एकांतर अंतः कोण हैं)

भी,

जीईडी = ∠जीईएफ +∠फेड

EF⊥ CD के रूप में, FED = 90°

GED = GEF+90°

या, GEF = 126° - 90° = 36°

फिर से, ∠FGE +∠GED = 180° (ट्रांसवर्सल)

GED = 126° का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है,

∠FGE = 54°

इसलिए,

AGE = 126°

जीईएफ = 36° और

∠FGE = 54°

4. आकृति 6.31 में, यदि PQ || ST, ∠PQR = 110° और ∠RST = 130°, QRS ज्ञात कीजिए।

[संकेत : बिंदु R से होकर ST के समांतर एक रेखा खींचिए।]

समाधान:

सबसे पहले, PQ के समांतर एक रेखा XY की रचना कीजिए।

हम जानते हैं कि तिर्यक रेखा के एक ही तरफ के कोण 180° के बराबर होते हैं।

अत: ∠PQR+∠QRX = 180°

या, QRX = 180°-110°

QRX = 70°

इसी तरह,

∠RST +∠SRY = 180°

या, एसआरवाई = 180°-130°

एसआरवाई = 50°

अब, रेखा XY पर रैखिक युग्मों के लिए-

QRX+∠QRS+∠SRY = 180°

उनके संबंधित मूल्यों को रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,

QRS = 180° - 70° - 50°

अत: QRS = 60°

5. आकृति 6.32 में, यदि AB || सीडी, ∠APQ = 50° और ∠PRD = 127°, x और y ज्ञात कीजिए।

समाधान:

आरेख से,

APQ = PQR (वैकल्पिक आंतरिक कोण)

अब, APQ = 50° और PQR = x का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है,

एक्स = 50°

भी,

∠APR = PRD (वैकल्पिक आंतरिक कोण)

या, APR = 127° (जैसा कि दिया गया है कि ∠PRD = 127°)

हम जानते हैं कि

APR = APQ+∠QPR

अब, QPR = y और ∠APR = 127° का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है,

127° = 50°+ और

या, y = 77°

इस प्रकार, x और y के मानों की गणना इस प्रकार की जाती है:

x = 50° और y = 77°

6. आकृति 6.33 में, PQ और RS एक दूसरे के समानांतर रखे गए दो दर्पण हैं। एक आपतित किरण AB दर्पण PQ से B पर टकराती है, परावर्तित किरण पथ BC के अनुदिश चलती है और दर्पण RS से C पर टकराती है और पुनः CD के अनुदिश परावर्तित होती है। सिद्ध कीजिए कि AB || सीडी.

समाधान:

सबसे पहले, दो रेखाएँ BE और CF इस प्रकार खींचिए कि BE PQ और CF RS हो।

अब, चूंकि पीक्यू || रुपये,

तो, बीई || सीएफ़

हम जानते हैं कि,

आपतन कोण = परावर्तन कोण (प्रतिबिंब के नियम के अनुसार)

इसलिए,

∠1 = ∠2 और

3 = ∠4

हम यह भी जानते हैं कि एकांतर आंतरिक कोण बराबर होते हैं। यहाँ, BE CF और तिर्यक रेखा BC उन्हें B और C . पर काटती है

अतः, 2 = ∠3 (चूंकि वे एकांतर आंतरिक कोण हैं)

अब, 1 +∠2 = ∠3 +∠4

या, ABC = DCB

तो, एबी || सीडी (वैकल्पिक आंतरिक कोण बराबर हैं)

---

प्रश्नावली: 6.3

1. आकृति 6.39 में, PQR की भुजाएँ QP और RQ क्रमशः बिंदुओं S और T तक बढ़ाई गई हैं। यदि SPR = 135° और ∠PQT = 110°, तो PRQ ज्ञात कीजिए।

समाधान:

यह दिया गया है कि TQR एक सीधी रेखा है और इसलिए, रैखिक जोड़े (यानी ∠TQP और PQR) 180° तक जोड़ देंगे

अत: TQP +∠PQR = 180°

अब, TQP = 110° का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है,

∠PQR = 70°

PQR पर विचार करें,

यहाँ, भुजा QP को S तक बढ़ाया गया है और इसलिए, SPR बाहरी कोण बनाता है।

अत: ∠SPR (∠SPR = 135°) अंत: सम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है। (त्रिकोण गुण)

या, PQR +∠PRQ = 135°

अब, PQR = 70° का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है,

PRQ = 135°-70°

अत: PRQ = 65°

2. आकृति 6.40 में, X = 62°, ∠XYZ = 54°। यदि YO और ZO, XYZ के क्रमशः XYZ और ∠XZY के समद्विभाजक हैं, तो OZY और YOZ ज्ञात कीजिए।

समाधान:

हम जानते हैं कि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग।

अत: ∠X +∠XYZ +∠XZY = 180°

हमें प्राप्त होने वाले प्रश्न में दिए गए मानों को रखने पर,

62°+54° +∠XZY = 180°

या, XZY = 64°

अब, हम जानते हैं कि ZO समद्विभाजक है इसलिए,

OZY = ½ XZY

OZY = 32°

इसी प्रकार, YO एक समद्विभाजक है और इसलिए,

OYZ = ½ XYZ

या, OYZ = 27° (जैसा कि ∠XYZ = 54°)

अब, त्रिभुज के आंतरिक कोणों के योग के रूप में,

OZY +∠OYZ +∠O = 180°

उनके संबंधित मूल्यों को रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,

O = 180°-32°-27°

अत: O = 121°

3. आकृति 6.41 में, यदि AB || DE, ∠BAC = 35° और ∠CDE = 53°, DCE ज्ञात कीजिए।

समाधान:

हम जानते हैं कि AE एक तिर्यक रेखा है क्योंकि AB || DE

यहाँ BAC और AED एकांतर अंतः कोण हैं।

अत: BAC = AED

दिया गया है कि BAC = 35°

एईडी = 35°

अब त्रिभुज सीडीई पर विचार करें। हम जानते हैं कि त्रिभुज के अंतः कोणों का योग 180° होता है।

DCE+∠CED+∠CDE = 180°

मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

डीसीई+35°+53° = 180°

अत: DCE = 92°

4. आकृति 6.42 में, यदि रेखाएँ PQ और RS बिंदु T पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं कि PRT = 40°, ∠RPT = 95° और TSQ = 75°, तो ∠SQT ज्ञात कीजिए।

समाधान:

त्रिभुज PRT पर विचार करें।

PRT +∠RPT + ∠PTR = 180°

अत: ∠PTR = 45°

अब PTR, STQ के बराबर होगा क्योंकि वे शीर्षाभिमुख कोण हैं।

अत: ∠PTR = ∠STQ = 45°

पुन: त्रिभुज STQ में,

TSQ +∠PTR + ∠SQT = 180°

इसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है,

74° + 45° + SQT = 180°

एसक्यूटी = 60°

5. आकृति 6.43 में, यदि PQ PS, PQ || SR, ∠SQR = 28° और ∠QRT = 65°, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।

समाधान:

x +∠SQR = QRT (चूंकि वे एकांतर कोण हैं क्योंकि QR तिर्यक है)

अत: x+28° = 65°

∴ एक्स = 37°

यह भी ज्ञात है कि एकांतर आंतरिक कोण समान होते हैं और इसलिए,

QSR = x = 37°

साथ ही, अब,

QRS +∠QRT = 180° (क्योंकि वे एक रैखिक युग्म हैं)

या, ∠QRS+65° = 180°

अत: QRS = 115°

SPQ में कोण योग गुण का उपयोग करते हुए,

SPQ + x + y = 180°

उनके संबंधित मूल्यों को रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,

90°+37° + और = 180°

y = 180 ⁰ - 127 ⁰ = 53 ⁰

अत: y = 53°

6. आकृति 6.44 में, PQR की भुजा QR को बिंदु S तक बढ़ाया जाता है। यदि PQR और PRS के समद्विभाजक बिंदु T पर मिलते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि QTR = ½ QPR है।

समाधान:

PQR पर विचार करें। PRS बाहरी कोण है और QPR और PQR आंतरिक कोण हैं।

तो, ∠PRS = ∠QPR+∠PQR (त्रिभुज गुण के अनुसार)

या, ∠PRS -∠PQR = ∠QPR ———–(i)

अब, QRT पर विचार करें,

∠TRS = TQR+∠QTR

या, QTR = TRS-∠TQR

हम जानते हैं कि QT और RT क्रमशः PQR और PRS को समद्विभाजित करते हैं।

अत: PRS = 2 TRS और PQR = 2∠TQR

अब, QTR = ½ ∠PRS – ½∠PQR

या, QTR = ½ (∠PRS -∠PQR)

(i) से हम जानते हैं कि PRS -∠PQR = QPR

तो, QTR = ½ QPR (इसलिए सिद्ध)।

 

एनसीईआरटी सोलूशन्स क्लास 9 मैथ्स चैप्टर 6 - सीबीएसई टर्म I 

एनसीईआरटी सॉल्यूशंस फॉर क्लास 9 मैथ्स चैप्टर 6 लाइन्स एंड एंगल्स चैप्टर लाइन्स एंड एंगल्स से संबंधित प्रश्नों और उत्तरों से संबंधित है। यह विषय आपको बुनियादी ज्यामिति से परिचित कराता है जो मुख्य रूप से बनने वाले कोणों के गुणों पर ध्यान केंद्रित करता है i) जब दो रेखाएँ एक दूसरे को काटती हैं और ii) जब कोई रेखा दो या दो से अधिक समानांतर रेखाओं को अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है। यह अध्याय इकाई - ज्यामिति के अंतर्गत आता है और कक्षा 9 गणित के कक्षा I सीबीएसई पाठ्यक्रम के लिए शामिल है।

अब, आप सोच रहे होंगे कि हम रेखाओं और कोणों का अध्ययन क्यों कर रहे हैं। इसके वास्तविक जीवन के अनुप्रयोग क्या हैं? इसका उत्तर यह है कि रेखाएँ और कोण हमारे चारों ओर हर जगह हैं। वास्तुकला एक इमारत की संरचना को डिजाइन करने के लिए रेखाओं और कोणों का उपयोग करती है। जब आप किसी सिग्नल पर रुकते हैं और फिर सिग्नल लाइट के हरे होने पर आगे बढ़ते हैं, तो आप या तो लेफ्ट एंगल टर्न लेते हैं या राइट-एंगल टर्न लेते हैं या एक सीधी रेखा में चलते हैं। जब आपको किसी टावर की ऊंचाई या किसी विमान की स्थिति का पता लगाना होता है, तो आपको कोणों को जानने की जरूरत होती है। एनसीईआरटी सॉल्यूशंस फॉर क्लास 9 मैथ्स चैप्टर 6 में, आप 2021-22 के लिए अपडेटेड टर्म-वाइज सीबीएसई सिलेबस के अनुसार लाइन्स और एंगल्स की सभी अवधारणाओं से संबंधित प्रश्नों को हल करना सीखेंगे। छात्र कक्षा 9 गणित के लिए इस अध्याय के एनसीईआरटी समाधान 

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 - रेखाएँ और कोण

कक्षा 9 का गणित सिद्धांत का पेपर 80 अंकों का होता है। जिसमें से ज्यामिति कुल 22 अंक बनाती है जिसमें यूक्लिड की ज्यामिति, रेखाएं और कोण, त्रिभुज, चतुर्भुज, क्षेत्र, वृत्त, निर्माण का परिचय शामिल है। जैसा कि आप देख सकते हैं कि यह लगभग 27% वेटेज का गठन करता है। इसलिए, कक्षा 9 के लिए एनसीईआरटी सॉल्यूशंस का उपयोग करके , छात्र आसानी से उच्च अंक प्राप्त कर सकते हैं यदि इस विषय की पूरी समझ हो।

रेखाओं और कोणों की सभी व्यायाम समस्याओं को हल करें। नीचे हमारे विशेषज्ञों द्वारा प्रदान किए गए कक्षा 9 के एनसीईआरटी समाधान देखें। इससे आपको प्रश्नों को आसान तरीके से हल करने में मदद मिलेगी।

एनसीईआरटी सोलूशन्स क्लास 9 मैथ्स चैप्टर 6 लाइन्स एंड एंगल्स का सारांश

अभ्यास की समस्याओं को हल करने से पहले, आपको पहले सिद्धांत भाग को पढ़ना चाहिए और मूल शब्दों, परिभाषाओं और प्रमेयों को जानना चाहिए। उसके बाद कक्षा 9 की एनसीईआरटी पुस्तक में दिए गए रेखाओं और कोणों के हल किए गए उदाहरणों को देखें । यह आपकी अवधारणाओं को और स्पष्ट करेगा। फिर आप एनसीईआरटी सॉल्यूशंस की मदद से व्यायाम की समस्याओं को हल करना शुरू कर सकते हैं ।

एनसीईआरटी कक्षा 9 गणित अध्याय 6 के मुख्य बिंदु - रेखाएं और कोण

कक्षा 9 गणित के रेखा और कोण अध्याय को हल करने के बाद, आप निम्नलिखित बिंदुओं को जान पाएंगे:

1. एक रेखा खंड, किरण, संरेख बिंदु, असंरेखीय बिंदु, प्रतिच्छेदी और अप्रतिच्छेदी रेखाओं से संबंधित मूल शब्द और परिभाषाएँ।
2. कोणों की जोड़ी (रिफ्लेक्स, पूरक, पूरक, आसन्न, लंबवत विपरीत, रैखिक जोड़ी)।
3. समानांतर और तिर्यक रेखाएं और उनसे संबंधित प्रमेय।
4. त्रिभुज के कोण योग गुण।

हम आशा करते हैं कि “ एनसीईआरटी सोलूशन्स क्लास 9 गणित चैप्टर 6 रेखाएँ और कोण” की यह जानकारी विद्यार्थियों के लिए उपयोगी साबित होगी। सीबीएसई और अन्य प्रतियोगी परीक्षाओं के बारे में और अपडेट के लिए बने रहें।

रेखाओं और कोणों के बारे में अधिक अवधारणाओं को जानने के लिए, छात्र सीबीएसई बोर्ड द्वारा निर्धारित अन्य अध्ययन सामग्री तक पहुंच सकते हैं। ऐसा करने से, छात्र सीबीएसई टर्म I परीक्षा में आने वाले प्रश्नों को हल करने में सक्षम होंगे।

 

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